Эконометрика 1

Overview

Sheet 1: дано

Задание 1. Модель парной линейной регрессии.
Имеются данные по 16 сельхозпредприятий о затаратах на 1 корову и о надое молока на 1 корову.
	Таблица 1.1
	№ сельхоз- предприятия	Затраты на 1 корову, руб./голов, x	Надой от 1 коровы, ц, y
	1	1602	34.2	1	1602	34.2
	2	1199	19.6	2	1199	19.6
	3	1321	27.3	3	1321	27.3
	4	1678	32.5	4	1678	32.5
	5	1600	33.2	5	1600	33.2
	6	1355	31.8	6	1355	31.8
	7	1413	30.7	7	1413	30.7
	8	1490	32.6	8	1490	32.6
	9	1616	26.7	9	1616	26.7
	10	1693	42.4	10	1693	42.4
	11	1665	37.9	11	1665	37.9
	12	1666	36.6	12	1666	36.6
	13	1628	38.0	13	1628	38
	14	1604	32.7	14	1604	32.7
	15	2077	51.7	15	2077	51.7
	16	2071	55.3	16	2071	55.3
Задание:
1. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, оценить его статистическую значимость и построить для него доверительный интервал с уровнем значимости α = 0,05. 2. Построить линейное уравнение парной регрессии y на x и оценить статистическую значимость параметров регрессии. Сделать рисунок. 3. Оценить качество уравнения регрессии при помощи коэффициента детерминации. Проверить качество уравнения регрессии при помощи F критерия Фишера. 4. Выполнить прогноз надоя от 1 коровы y при прогнозном значении x, составляющем 108% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости α = 0,05.				119

Sheet 2: 1

Решение:
1. Для определения степени тесноты связи обычно используют линейный коэффици-ент корреляции:


где				– выборочные дисперсии переменных x и y,
							– ковариация признаков.
Соответствующие средние определяются по формулам:


Для расчета коэффициента корреляции строим расчетную таблицу (табл. 1.2).
По данным таблицы находим:
	cov(x,y) = 58267,54 - 1604,88 * 35,2 = 1775,94											1775.9438
	rxy =		1775.94					= 0,914				0.9138626361
	rxy =		226,26 * 8,59					= 0,914
Таким образом, между переменными х и у существует прямая весьма высокая корреляционная зависимость.
Для оценки статистической значимости коэффициента корреляции рассчитывают двухсторонний t-критерий Стьюдента:
						= 8,42						8.42
						= 8,42

	Ткрит = Т			a = 0,05				= 2,14				2.14
	Ткрит = Т			k = 16 - 2 = 14				= 2,14				14
Поскольку T > Tкрит, то коэффициент корреляции признается существенным.												Поскольку T < Tкрит, то коэффициент корреляции существенно не отличается от нуля.
Для значимого коэффициента можно построить доверительный интервал, который с заданной вероятностью содержит неизвестный генеральный коэффициент корреляции. Для построения интервальной оценки (для малых выборок n<30), используют z-преобразование Фишера:


Распределение z уже при небольших n является приближенным нормальным распределением с математическим ожиданием


и дисперсией


Поэтому вначале строят доверительный интервал для M(z), а затем делают обратное z-преобразование.
Применяя z-преобразование для найденного коэффициента корреляции, получим
			1 + 0,914			= 1,55						1.55
			1 - 0,914			= 1,55
Доверительный интервал для M(z) будет иметь вид


где t находится с помощью функции Лапласа (t) = /2. Для  = 0,95 имеем t = 1,96. Тогда												1.96
	1.0063938077					2.0936061923						1.0063938077
Обратное z-преобразование осуществляется по формуле												2.0936061923


В результате находим
	0.76				0.97							0.764
На уровне значимости 0,05 (с надежностью 0,95) генеральный коэффициент корреляции  находится в найденном интервале.												0.97

2. Таким образом, между переменными x и y весьма высокая корреляционная зависимость. Будем считать, что эта зависимость является линейной. Модель парной линейной регрессии имеет вид

где y – зависимая переменная (результативный признак), x – независимая (объясняющая) переменная,  – случайные отклонения, 0 и 1 – параметры регрессии. По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:

где b0 и b1 – эмпирические коэффициенты регрессии. Для оценки параметров регрессии обычно используют метод наименьших квадратов (МНК). В соответствие с МНК, сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной y от теоретических была минимальной:


где ei = yi - b0 - b1xi – отклонения yi от оцененной линии регрессии. Необходимым условием существования минимума функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам b0 и b1. В результате получаем систему нормальных уравнений:




Решая систему, найдем
								1775.94		= 0,035		0.035
								51193.73		= 0,035
					35,2 - 0,035 * 1604,875 = -20,97							-20.97
Получено уравнение регрессии:
			1199	19.6	21.00
Параметр b1 называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. В рассматриваемом случае, с увеличением параметра Х на 1 руб./голову параметр У возрастает в среднем на 0,035 ц.												1321	27.3	25.27
												1355	31.8	26.46
												1413	30.7	28.49
												1490	32.6	31.18
												1600	33.2	35.03
												1602	34.2	35.10
												1604	32.7	35.17
												1616	26.7	35.59
												1628	38	36.01
												1665	37.9	37.31
Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки статистической значимости каждого коэффициента регрессии. Значимость коэффициентов регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента:												1666	36.6	37.34
												1678	32.5	37.76
												1693	42.4	38.29
				2071	55.3	51.52
Для коэффициента b1 оценку дисперсии можно получить по формуле:												2077	51.7	51.73
						194.66					= 0,000017	0.000017
						16 * (16 - 2) * 51193,73					= 0,000017
Следовательно,
			0.035			= 8,49						8.49
			0.0041			= 8,49
Отметим, что для парной линейной регрессии t-критерий для коэффициента корреляции rxy и коэффициента регрессии b1 совпадают.
Для коэффициента b0 оценку дисперсии можно получить по формуле:
					0,000017 * 2626817,5 = 44,66							44.66
Тогда
			20.97		= 3,14							3.138
			6.68		= 3,14
Критическое значение критерия было уже найдено
	Ткрит =		2.14									2.14
Имеем
				и
то оба коэффициента регрессии и b0, и b1 значимо отличаются от нуля и признаются существенными. Построим для них доверительные интервалы. Определим предельные ошибки:

где t = Ткрит.
В нашем случае
			2,14 * 0,0041 = 0,0088									0.0088
				14.3012
В результате, получаем следующие доверительные интервалы для коэффициентов регрессии:
	b1 =		0,035 ± 0,0088
	b0 =		-20,97 ± 14,3
или
	0.0262				0.0438							0.0262	0.0438
	-35.2712				-6.67							-35.2712	-6.6688
т.е. генеральные коэффициенты регрессии находятся в найденных интервалах.

3. Оценку качества построенной модели дает коэффициент детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:
							0,084 * 100% = 8,4%					8.4
							0,084 * 100% = 8,4%
Средняя ошибка аппроксимации меньше 10 %, то качество построенной модели можно признать хорошим.												Средняя ошибка аппроксимации мньше 8%, то качество построенной модели оценивается как хорошее.

Коэффициент детерминации для линейной модели равен квадрату коэффициента корреляции
			= 0,835									0.835
Это означает, что 83,5% вариации результативного признака У объясняется вариацией фактора X.

Значимость уравнения регрессии проверяется при помощи F-критерия Фишера, для линейной парной регрессии он будет иметь вид
						0.835			16-2	= 70,85		70.85
						1 - 0,835			16-2	= 70,85
F подчиняется распределению Фишера с уровнем значимости  и степенями свободы k1 = 1 и k2 = n – 2
	Fкрит = F			a = 0,05
				k1 = 1				= 4,6				4.6
				k2 =	16 - 2 = 14							14
Т.к. F > Fкрит, то признается статистическая значимость построенного уравнения регрессии.
Отметим, что для линейной модели F- и t-критерии связаны равенством												Т.к. F < Fкрит, то построенноt уравнениt регрессии признается статистически незначимым.


4. Полученные оценки уравнения регрессии рекомендуется использовать для прогноза в практических целях. Прогнозное значение yp определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения xp. В нашем случае прогнозное значение составит:
			1,19 = 1604,875 * 1,19 = 1909,8 руб./голову									1909.8

			-20,97 + 0,035 * 1909,8 = 45,87 ц									45.87
Средняя стандартная ошибка прогноза вычисляется по формуле:





где							= 3,729					3.729

			4.04									4.04
Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:
					2,14 * 4,04 = 8,65							8.65
Доверительный интервал прогноза
					45,87 ± 8,65
или		37.22				54.52						37.22	54.52
Выполненный прогноз надежный ( = 0,95), но неточный, т.к. относительная погрешность расчета составила
	8,65 / 45,87 = 0,19 (19 %)											0.19

Sheet 3: табл1.2

Таблица 1.2
	х	у	ху	х2	у2
1	1602	34.2	54788.4	2566404	1169.64	35.10	0.81	0.03
2	1199	19.6	23500.4	1437601	384.16	21.00	1.95	0.07
3	1321	27.3	36063.3	1745041	745.29	25.27	4.14	0.07
4	1678	32.5	54535.0	2815684	1056.25	37.76	27.67	0.16
5	1600	33.2	53120.0	2560000	1102.24	35.03	3.35	0.06
6	1355	31.8	43089.0	1836025	1011.24	26.46	28.57	0.17
7	1413	30.7	43379.1	1996569	942.49	28.49	4.91	0.07
8	1490	32.6	48574.0	2220100	1062.76	31.18	2.02	0.04
9	1616	26.7	43147.2	2611456	712.89	35.59	79.03	0.33
10	1693	42.4	71783.2	2866249	1797.76	38.29	16.93	0.10
11	1665	37.9	63103.5	2772225	1436.41	37.31	0.35	0.02
12	1666	36.6	60975.6	2775556	1339.56	37.34	0.55	0.02
13	1628	38.0	61864.0	2650384	1444.00	36.01	3.96	0.05
14	1604	32.7	52450.8	2572816	1069.29	35.17	6.10	0.08
15	2077	51.7	107380.9	4313929	2672.89	51.73	0.00	0.00
16	2071	55.3	114526.3	4289041	3058.09	51.52	14.33	0.07
Итого	25678	563.2	932280.7	42029080	21004.96	563.21	194.66	1.34
Среднее	1604.88	35.20	58267.54	2626817.50	1312.81			0.084
S	226.26	8.59
S2	51193.73	73.77

>>>Заказать работу

flexsmm.com