Теория вероятностей 2 АТиСО
7916
Теория вероятностей
Вариант 2
1. Имеются шесть билетов в театр, четыре из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из трех наудачу выбранных билетов два окажутся на места первого ряда?
Решение:
Событие А – выбрано 2 билета на первый ряд.
Всего
Из них
.
выбирается
п1 = 2 билета в первый ряд.
п2 = п – п1 = 3 – 2 = 1 билет в другой ряд.
Число равновозможных независимых исходов равно:
Подсчитаем число исходов, благоприятных событию А. Среди 3 взятых наугад билетов 2 в первый ряд и 1 в другой ряд. 3 билета в первый ряд из 4 можно выбрать: способами, а 1 билет в другой ряд из 2 билетов:
Каждая благоприятная комбинация может сочетаться с каждой неблагоприятной комбинацией, поэтому .
Следовательно, .
Ответ:
2. Парабола касается полукруга и проходит через границы его диаметра. Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в полукруг, попадает в область ограниченную дугой полукруга и параболой?
Решение:
У
А В
0 Х
Искомая вероятность будет равна:
Площадь полукруга:
Площадь параболы:
Ответ:
3. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность разрушения, если на мост сбрасывают три бомбы с вероятностями попадания 0,3; 0,4; 0,7 соответственно.
Решение:
Событие А – мост разрушен.
Вероятность попадания первой бомбы:
Вероятность попадания второй бомбы:
Вероятность попадания третьей бомбы:
Вероятность промаха первой бомбы:
Вероятность промаха второй бомбы:
Вероятность промаха третьей бомбы:
Вероятность того, что в мост не попадет ни одна бомба:
Вероятность того, что хотя бы одна бомба попадет в мост:
Ответ: вероятность того, что мост будет разрушен, равна 0,874.
4. Из пяти винтовок, среди которых три снайперских, две обычные, наудачу выбирается одна. Из нее производится выстрел. Какова вероятность попадания, если вероятность попадания из снайперской винтовки 0,95, а из обычной – 0,7?
Решение:
Событие А – пуля попала в цель.
Гипотезы:
Н1 – выбрана снайперская винтовка,
Н2 – выбрана обычная винтовка.
Вероятности гипотез:
Условные вероятности попадания:
Полная вероятность попадания:
Ответ:
5. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4, 2%. Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектный. Какова вероятность того, что он был произведен второй машиной?
Решение:
Событие А – болт дефектный.
Гипотезы:
Н1 – болт произведен первой машиной;
Н2 – болт произведен второй машиной;
Н2 – болт произведен третьей машиной.
Вероятности гипотез:
Условные вероятности того, что болт дефектный:
– если болт произведен первой машиной;
– если болт произведен второй машиной;
– если болт произведен третьей машиной.
По формуле Байеса рассчитываем вероятность того, что болт произведен второй машиной:
Ответ: вероятность того, что болт был произведен второй машины, равна
6. Вероятность получения удачного результата при проведении сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 7.
Всего опытов п = 5
Вероятность удачного результата:
Вероятность неудачного результата: .
Наивероятнейшее число удачных опытов:
Ответ: наивероятнейшее число удачных опытов равно 5.
7. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождение придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.
Решение:
Вероятность рождения в фиксированный день равна
Вероятность нерождения в фиксированный день равна
По локальной теореме Лапласа:
вероятность того, что у двух человек день рождение придется на Новый год: